求函数y=(1/2)^(x^2-2x)的值域(0<x≤2)

解:
设g(x)=x^2-2x
=(x-1)^2-1
0<x<=2
所以当x=1,g(x)有最小值是:-1
当x=2,有最大值是:0
因为y=(1/2)^x是减函数
所以
(1/2)^0<=y<=(1/2)^(-1)
1<=y<=2

所以所求的值域是:
{y|1<=y<=2}

令g（x）=x^2-2x
g（x）=的对称轴为x=1，

因为开口向上，1在0<x≤2这个范围上

所以g（x）在x=1处取最小值，最小值为 -1.

而两个端点0和2，关于x=1对称

所以g（x）在x=2处取最大值，最大值为0

所以g（x）的值域为[-1, 0].

又y=(1/2)^x是减函数 （因为底数1/2<1）

所以 (1/2)^0 小于等于 y 小于等于 (1/2)^(-1)

即 1 小于等于 y 小于等于 2.

所以值域为[1,2].

∵0<x≤2，而x^2-2x=（x-1）^2-1
∴-1<x-1《1，∴0《（x-1）^2《1
∴-1《（x-1）^2-1《0
又∵0<1/2<1,∴1/2^0《(1/2)^(x^2-2x)《1/2^-1
∴1《(1/2)^(x^2-2x)《2
∴原函数值域为[1,2]